Cet article est centré sur le rôle de la démonstration en ce qu’un raisonnement participe étroitement de la construction des objets mathématiques ; même si certains sont porteurs plus que d’autres de sens, sens pouvant être différents ou complémentaires.
Ce texte s’articule à partir d’un exercice de géométrie où il est proposé plusieurs démonstrations utilisant successivement la géométrie analytique, les nombres complexes, les relations métriques, la géométrie affine et les vecteurs, les cas d’égalités, les cas de similitudes, les transformations et les quadrillages. Cette multiplicité des démonstrations explicite les divers aspects de la configuration et permet d’en obtenir son intelligence.
La mise à plat de la configuration géométrique étudiée, permet de relier l’exercice proposé avec un problème provenant de la physique : on explicite les liens entre le point de Torricelli et un problème de minimum de Fermat à partir de textes historiques. Cette démarche permet d’élargir le problème initial à d’autres problèmes, tant du côté de la physique que de celui des mathématiques et d’en anticiper les réponses.