Si l’on modélise un phénomène dépendant du temps comme, par exemple, l’évolution d’une population en l’absence de prédateur et de concurrence, dans un milieu illimité où la nourriture est toujours suffisante on a deux voies possibles : le temps peut être modélisé par un entier, ce qui donne une suite récurrente, ou bien par un réel, ce qui donne une équation différentielle. Or c’est généralement celle-ci qui sera utilisée, alors que son étude mathématique repose sur des outils beaucoup plus élaborés. Pourquoi préfère-t-on le modèle à temps continu ?

Alors que le modèle à temps discret u_n+1=a.u_n (suite géométrique) et son analogue à temps continu y'(t)=a.y(t) (fonction exponentielle) ont des comportements analogues, il n’en est plus de même pour des modèles non linéaires : u_n+1=a.u_n-b.(u_n)² (modèle logistique) et y'(t)=a.y(t)-b.y(t)² (modèle de Verhulst), Le modèle à temps continu ayant un comportement simple alors que le modèle a temps discret peut conduire à des comportements chaotiques.

Les principaux résultats nécessaires sur les équations différentielles sont présentés. Le comportement du modèle logistique u_n+1=a.u_n-b.(u_n)² est analysé. Enfin les moyens généraux permettant de passer d’un modèle à temps discret à un modèle à temps continu et réciproquement sont présentés, avec les conséquences que cela implique sur l’analyse numérique des équations différentielles.