La notion de produit tensoriel est très utile en algèbre en ce qu’elle permet de ramener l’étude de formes bilinéaires à celle de simples formes linéaires. La propriété universelle définissant un produit tensoriel de deux modules donne immédiatement son unicité à isomorphisme près lorsque l’on suppose l’existence d’au moins un produit tensoriel. Puis par une construction explicite, on obtient l’existence de manière effective.
Cette construction effective pourrait être pensée pleinement satisfaisante, mais on se heurte néanmoins au problème suivant : un foncteur étant donné sous sa forme abstraite, comment reconnaître qu’il s’agit d’un produit tensoriel ?
Dans ce texte, on rappelle dans un premier temps les principales structures algébriques utilisées, avant de donner la définition du produit tensoriel ainsi que ses principales propriétés. On fera ensuite des rappels nécessaires concernant la théorie des catégories, puis on sera à même de présenter le théorème de Watts, qui répond au problème posé en caractérisant le produit tensoriel par son exactitude à droite et sa préservation des sommes directes.