Les objets et notions à la base sont totalement élémentaires : d’une part les triplets pythagoriciens (x, y, z) où x, y, z sont des entiers vérifiant x^2+y^2=z^2 et d’autre part une certaine involution R du cercle unité x^2+y^2=1.
Cette involution « s’homogénéise » et fournit une puis trois transformations linéaires de dimension 3, qui sont en fait des éléments du groupe orthogonal O(X^2+Y^2-Z^2).
Ces trois opérateurs orthogonaux (à coefficients entiers) permettent la génération de tous les triplets pythagoriciens en un sens très précis. Dans cet exposé, Claude Quitté explique ensuite en quoi l’involution initiale R du cercle est en réalité la trace sur le plan {z=1} d’un retournement de dimension 3 pour la métrique x^2+y^2-z^2.
La fin de l’exposé est consacré à la notion d’orthogonalité au sens x^2+y^2=z^2 et à aborder l’isomorphisme PGL(2,K)~SO(K 3, x^2+y^2=z^2).