Le développement de l’enseignement du calcul des probabilités dans les collèges et les lycées s’est accompagné de simulations utilisant une touche ou une fonction random ou aléa censée réaliser des tirages indépendants de variables uniformément distribuées. Mais en fait on est mal informé sur ce « Tout se passe comme si », d’autant plus que la calculette ou l’ordinateur produisent ces titrages très simplement et rapidement, alors que pour assurer l’indépendance, il faut maximiser la complexité.
Cette brochure réunit sur cette intrigante question les trois exposés donnés les 17 et 18 juin 2011 au CIRM à Marseille.

L’exposé de Laurent Bienvenu, « Qu’est-ce qu’un nombre aléatoire ? Hasard et calculabilité », est divisé en trois parties :
1) Une théorie algorithmique du hasard (Hasard et incompressibilité, complexité de Kolmogorov).
2) Suites infinies aléatoires (Théorème de Levin et Schnorr, imprédictibilité, le nombre W de Chaitin).
3) Un bref aperçu de la recherche récente (Notions fortes et faibles d’aléatoire, suites anti-aléatoires, liens avec l’analyse calculable).

Celui de Benoît Rittaud « De la Grande Année aux suites de Kronecker » est consacré à la Grande Année, temps hypothétique mis par les planètes à revenir à une même position apparente, et à l’étude des suites de parties fractionnaires.
1) Nicole Oresme.
2) Suites de Kronecker.
3) L’équirépartition.
4) La loi des premiers chiffres (Newcomb, Benford).
5) Une Grande Année approchée.
6) Vitesse de répartition.
7) Avec plusieurs astres.
8) Normalité et équirépartition.

Dans le troisième, « Le pseudo-aléa : objets et génération », David Xiao donne plusieurs exemples d’objets pseudo-aléatoires :
1) Introduction (Pseudo-aléa et informatique, pseudo-aléa et mathématiques).
2) Préliminaires (Borne de Chernoff, borne d’Erdös).
3) Les graphes expandeurs (Définition, constructions, applications).
4) Les extracteurs d’aléa (Définition, construction, applications).
5) Les générateurs pseudo-aléatoires (La dérandomisation).
6) Les codes correcteurs d’erreurs (Définition et existence, construction explicite).
7) Le principe de transfert (Application : le théorème de Green-Tao).
8) Conclusion (Relations entre les objets pseudo-aléatoires, développements récents, questions ouvertes, conseils de lecture).

Les trois exposés se complètent parfaitement et détaillent les réponses apportées depuis une centaine d’années à la question posée dans le titre. Beaucoup de conjectures, comme par exemple pi ou de e, ne sont pas encore résolues et motivent de multiples recherches.