« Un point est ce dont il n’y a aucune partie »
« Une ligne est une longueur sans largeur »
« Les limites d’une ligne sont des points »
« Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle »
« Une surface est ce qui a seulement longueur et largeur »
« Les limites d’une surface sont des lignes »
« Est solide ce qui a longueur, largeur et profondeur »
« La limite d’un solide est une surface »
« Une frontière est ce qui est limite de quelque chose »
« Une figure est ce qui est contenu par quelque ou quelques frontière(s) »
Telles sont quelques définitions données dans les Eléments d’Euclide (vers 300 avant J.-C.), le premier traité de mathématiques au sens actuel du terme. Prises à la lettre, elles ne signifient pas grand-chose, et d’ailleurs elles n’ont aucune utilité dans le développement des Éléments ; elles ne sont là que pour signaler de quoi il va être question, elles désignent des objets considérés comme évidents (point, ligne, surface, solide, figure) et plus loin des ‘demandes'(postulats) imposeront des relations entre ces objets évidents (par exemple, « mener une ligne droite de tout point à tout point »). Mais d’où viennent ces évidences ? En tous cas, c’est la première fois qu’elles sont énoncées et mises en tête d’un traité. Un millénaire et demi avant cela, en Égypte et en Mésopotamie, d’autres écrits, les plus anciens que nous connaissions, traitent savamment de longueurs, de largeurs, de surfaces, mais sans la moindre définition, sans axiome, sans postulat. On observe le même phénomène dans les textes de l’Inde védique (vers -500 au plus tard) et de la Chine des Han (-206 à +220). Les évidences dont nous parlons existaient donc bien avant que l’on tente de les définir. On pourrait penser qu’elles ont été découvertes par les scribes, au moment où l’administration des grands empires primitifs provoqua l’essor de la comptabilité et de l’arpentage. L’apparition de la mesure systématique est certainement un moment capital, un bond en avant dans l’histoire de la géométrie ; mais si l’on réduit la géométrie à son sens étymologique de mesure des terrains, alors il faudrait dire que les quatre premiers livres des Éléments d’Euclide (presque le tiers du total) ne sont pas de la géométrie. Et surtout, des milliers d’années avant l’apparition d’une quelconque mesure, les humains ont produit des choses telles que des pierres taillées, des graphismes, . créations qui méritent notre attention. Il n’y a rien de comparable dans le monde animal, en dépit des apparences ; ce sont des créations spécifiquement humaines.
Dans ce texte, l’auteur essaie de montrer qu’elles témoignent d’une longue gestation de la géométrie au sein des sociétés humaines, préalable à sa naissance comme science en Grèce antique ; les évidences qui trônent en tête des Eléments d’Euclide sont des acquisitions du travail réfléchi et de la pensée schématisante propres à notre espèce. Voici donc, en se limitant au Paléolithique et au monde des chasseurs-cueilleurs, quelques réflexions sur une embryologie de la géométrie.