L’Ouvert. N° 72. p. 1-8. Sur les carrés dans certaines suites de Fibonacci.
English Title : On squares in certain Fibonacci sequences.
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Auteur : Mignotte Maurice
Résumé
Chacun connaît la suite de Fibonacci 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144… En 1964, J.H.E. Cohn a démontré que les seuls carrés de cette suite sont 0, 1 et 144, démonstration reproduite dans le premier paragraphe de l’article. La suite de Fibonacci vérifie la récurrence Fn=Fn-1+Fn-2 pour n>=2. L’auteur considère dans cet artilce les suites un= un(a) définies par u0=0, u1=1 et un= aun-1-un-2 pour n>=2, où a est un entier >=3. (Il note que un(3)=F2n.) Il montre que pour a>=4, alors un n’est ni un carré, ni le double, ni le triple d’un carré, ni six fois un carré pour n>=3, sauf si a=338 et n=4. Ce travail a été réalisé en collaboration avec A. Pethoe. Abstract In the first part of the paper it is shown that only 0,1 and 144 are square Fibonacci numbers. Then the following generalisation is demonstrated: Let a be a positive integer $ge$ 3, d = a$sp 2$-4, $alpha$= (a+$sqrtd$)/2 and $beta$ = (a-$sqrtd$)/2, u$sb n$ = u$sb n$(a) = ($alphasp n-betasp n$)/($alpha$-$beta$). For a $ge$4 and n $ge$3 u$sb n$ is neither a square nor a double-square, nor a triple-square, nor a sixfold- square Fibonacci number unless a = 338 and u = 4. (ZDM/Mathdi) Zusammenfassung Im ersten Teil der Arbeit wird J.H.E. Cohns Satz wiedergegeben, nach dem unter allen Fibonaccizahlen nur 0, 1 und 144 Quadratzahlen sind. Im weiteren Verlauf der Arbeit skizziert der Autor den Beweis des folgenden Satzes: Seien a eine ganze Zahl $ge$3, d = a$sp 2$-4, $alpha$ = (a+$sqrtd$)/2 und $beta$ = (a-$sqrtd$)/2. Dann gilt fuer die Folge u$sb n$ = n$sb n$(a) = ($alpha sp n-betasp n$)/($alpha$-$beta$) der Fibonaccizahlen: Fuer a $ge$4 und n $ge$ 3 ist u$sb n$ weder eine Quadratzahl noch das Doppelte, noch das Dreifache, noch das Sechsfache einer Quadratzahl, es sei denn a = 338 und n = 4. (ZDM/Mathdi)
Notes
Article de L’Ouvert n°72.
L’Ouvert est le journal de la Régionale de l’Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) d’Alsace et de l’IREM de Strasbourg. Lien entre l’enseignement secondaire des Mathématiques et l’Université, L’Ouvert propose à ses lecteurs : des articles sur les recherches récentes ; des textes sur l’histoire des mathématiques ; des synthèses sur les questions didactiques ; des comptes rendus d’activités et d’expérimentations avec les élèves ; des problèmes pour stimuler le plaisir de chercher ; des informations sur l’enseignement des mathématiques en Europe ; des nouvelles des groupes de l’IREM et le point sur leurs recherches.
L’Ouvert a cessé de paraître en 2010 avec le n° 118. Tous les articles de L’Ouvert sont disponibles sur le site de l’IREM de Strasbourg.
Données de publication
Éditeur IREM de Strasbourg Strasbourg , 1993 Format A4, p. 1-8 Index Bibliogr. p. 8-8
ISSN 0290-0068
Public visé enseignant Niveau licence Âge 18, 19, 20
Type article de périodique ou revue Langue français Support papier
Classification