Cet ouvrage fait partie d’une série intitulée Recherches Esthétiques et Théorétiques sur les Images Nouvelles et Anciennes (RETINA) ; il est le 49e du groupe de recherche « Frontières ».
L’auteur propose une « rêverie » à partir du mot « frontière » et des significations qu’il peut avoir en mathématiques et ailleurs, sans oublier la frontière entre le monde mathématique et les autres domaines intellectuels. L’accent est mis sur les correspondances fortes entre ces différentes acceptions, et sur l’aspect positif qu’offre tout franchissement de frontière.
Après une Introduction, le Chapitre 1 : Définition de la frontière apporte le vocabulaire de base de la topologie. Restant dans le cadre de la topologie classique de R ou R², l’auteur présente des « frontières pathologiques », telles celle de Q, qui n’est autre que R. A travers les topologies induites, il évoque les changements de point de vue. Toutes ces notions sont assorties d’analogies ou métaphores dans d’autres domaines de la pensée : philosophie, géopolitique, psychisme…
Le Chapitre 2 : La frontière fractale, se limite aux exemples des ensembles de Julia et de Mandelbrot, mais les définit de façon précise. Le propos s’appuie sur des illustrations de grande qualité. On y découvre bien des propriétés, pas forcément connues du lecteur, où la notion de frontière joue un rôle central.
Le titre du Chapitre 3 : Les mathématiques comme franchissement de frontières, est illustré par trois exemples : franchissement de la frontière de la signification, pour la notation exponentielle ; franchissement de la frontière géométrie/algèbre, par la géométrie analytique et les espaces de dimension supérieure à 3 ; franchissement de la frontière de la création enfin, par Dedekind, qui, selon l’auteur, ne se contente pas de construire mais crée les réels.
La Conclusion est un appel au franchissement de la frontière entre les mathématiques et les autres disciplines de réflexion.