La théorie des groupes finis constitue en mathématiques un des problèmes encore les plus ouverts, justifiant l’intensité des recherches qui sont menées sur ce sujet par son utilisation dans des branches à priori très éloignées, par exemple en physique quantique. En outre, bien des aspects de cette théorie, en ce qui concerne tout au moins les groupes ayant un « petit » nombre d’éléments, sont facilement illustrables à tous les niveaux de l’enseignement. L’outil fondamental de la théorie est « l’Opération d’un groupe sur un ensemble » (cet ensemble peut être l’ensemble sous-jacent au groupe) et en particulier la conjugaison, dont l’emploi est presque systématique.
Les deux aspects essentiels sur lesquels travaillent les chercheurs depuis l’origine sont des aspects de représentations d’un groupe, soit comme groupe de substitutions – d’où l’intérêt d’étudier avant tout la structure du groupe symétrique et du groupe alterné – base de la théorie des équations algébriques, soit comme groupe d’applications linéaires d’un espace vectoriel dans lui-même (représentations linéaires).
Cette brochure étudie principalement la structure des groupes symétrique et alterné.

Sommaire :
Introduction et bibliographie

I – Préliminaires
a) Généralités
b) Groupe opérant sur un ensemble, conjugaison.

II – Substitutions, groupe symétrique et groupe alterné

III – Etude de la structure du groupe symétrique S_n
a) Conjugaison dans S_n
b) Centre de S_n
c) Sous-groupes distingués de S_n

IV – Etude de la structure du groupe alterné A_n
a) Conjugaison dans A_n
b) Sous-groupes distingués de A_n
c) Centre de A_n

Appendice: Structure du groupe des rotations vectorielles de l’espace euclidien de dimension 3.