Le contenu cet article est celui de l’intervention proposée dans le cadre du stage d’histoire des mathématiques proposé par l’IREM en janvier 2002. Le plan en est le suivant : après avoir rappelé quelques définitions mathématiques, l’auteure s’intéresse au problème des cordes vibrantes, puis à quelques passages de la Théorie analytique de la chaleur de Fourier. Elle termine par l’article de Dirichlet.
De nombreux phénomènes sont périodiques. Par exemple, l’étude des vibrations d’une corde fixée à ses extrémités, le son, les signaux en dents de scie de l’électronique… Cela amène donc à décomposer une fonction compliquée en sommes de fonctions périodiques simples que sont les fonctions trigonométriques.
La théorie correspondante est la théorie des séries de Fourier. Au début du XVIIIe siècle, l’approximation des fonctions par les polynômes qui sont les fonctions les plus simples conduit à la théorie des développements en série entière et finalement à des fonctions très régulières. En revanche, l’approximation par les polynômes trigonométriques, qui semble tout aussi naturelle, conduit à des fonctions extrêmement peu régulières et à des problèmes très complexes.