L’implication est un concept omniprésent en mathématiques, puisque constitutif des preuves. Pourtant, l’implication, souvent identifiée à l’objet de la logique naturelle, n’est presque pas enseignée en tant qu’objet mathématique. Elle apparaît comme un objet /transparent/ et facile à manipuler alors que de nombreux étudiants manifestent des difficultés qui lui sont reliées jusqu’en fin d’université.
Pour cette étude l’auteur s’est posé les question suivantes :
– Quel est l’objet mathématique « implication » ?
– Quelle est sa « vie » dans l’enseignement ?
– Comment construire une situation didactique qui problématise l’implication ?

En réponse à la première question, l’auteur présente dans le premier chapitre une analyse épistémologique de l’implication mathématique dans trois cadres : logique formelle, théorie des ensembles et raisonnement déductif.

En réponse à la deuxième question, est étudié, au chapitre 2, la « vie » de l’implication, relativement à ces trois cadres, dans quelques manuels du collège à l’université.

Au chapitre 3, sont présentés les premiers résultats concernant notamment la « conception causale-temporelle » de l’implication, à la suite desquels, l’auteur a formulé sa thèse :
« Il est nécessaire de connaître et d’établir un jeu dialectique entre les trois cadres, raisonnement déductif, logique formelle et théorie des ensembles pour une bonne appréhension et une bonne utilisation de l’implication. L’auteur soutient que cette condition sur le jeu de cadre est aussi suffisante. »
Pour apporter des éléments de réponse à cette thèse une ingénierie didactique, destinée à des PLC2, a été construite. Elle qui permet de problématiser l’implication par un /jeu/ sur ces trois cadres. En particulier, la pertinence du point de vue ensembliste pour travailler l’implication est montrée. La présentation de cette ingénierie est l’objet de la deuxième partie de la thèse.