L’auteur donne dans cet article sa vision de l’enseignement de la géométrie voire des mathématiques à l’université, après avoir signalé dans l’introduction les risques que font peser un trop grand morcellement des cours et des contenus sur l’enseignement même de la géométrie.

L’article comporte deux parties :
1. Algèbre géométrique – Un stock de figures élémentaires – Quelques transformations nouvelles . Perspectives (ou projections coniques ou cylindriques) . inversions . transformations par polaires réciproques relativement à un cercle – Mise en place d’outils nouveaux . les espaces projectifs et les homographies . les géométries : géométrie projective géométrie réelle et géométrie complexe géométrie affine géométrie conforme (ombilicale, points cycliques) géométrie anallagmatique synthèse d’Erlangen révision sur les formes quadratiques – Utilisation des nouveaux outils
2. Géométrie et topologie des surfaces – Surfaces topologiques et différentiables – Fonctions différentiables, vecteurs tangents et champs de vecteurs sur une surface C – Chaînes singulières différentiables, formes différentielles et intégration sur une surface – Géométrie riemannienne des surfaces – Pavages, homologie entière et cohomologie réelle d’une surface compacte – L’invariant d’Euler-Poincaré d’une surface compacte.