Cet article est le texte de la conférence de Jean-Pierre Bourguignon lors des Journées Nationales de Strasbourg : « L’Europe des mathématiciens d’hier, d’aujourd’hui, de demain. »
Jean-Pierre Bourguignon y fait un historique détaillée de la naissance et du développement des géométries non-Euclidiennes, des polémiques qu’elles ont suscitées et donne un aperçu du rôle actuel de ces nouvelles géométries.
Après avoir évoqué l’état de la géométrie avant Euclide, et le nom de Thalès de Millet qui atteste de l’importance de la géométrie dans la pensée des Grecs, il présente les « Eléments » d’Euclide, où pour la première fois est développée la méthode axiomatique. Parmi les nombreux postulats définis, le postulat numéro 5 tient une place particulière, car il fait intervenir l’infini. Par la suite plusieurs mathématiciens ont tenté de « prouver » ce postulat numéro 5.
Au XVIIIe siècle le mathématicien suisse Jean-Henri Lambert développe la géométrie sphérique, mais c’est Gauss qui entrevoit qu’elle peut être une concurrente de la géométrie Euclidienne. Enfin Lobatchevski en fait une étude rigoureuse qui est encore approfondie par l’autrichien Janos Bolyai. Ce dernier prend conscience de l’existence de trois géométries : les géométries Euclidiennes, Sphériques et Hyperboliques.
Plusieurs modèles sont donnés des géométries non-Euclidiennes : le disque ou le demi-plan de Poincaré, plus récemment la pseudo-sphère ou le modèle de Klein-Beltrami. Suit une description des groupes d’isométries de ces trois géométries.
Ensuite l’auteur évoque des développements et des controverses variées, puis il précise le rôle actuel joué par ces diverses géométries, en particulier le théorème d’uniformisation des surfaces et le point de vue dynamique. La conclusion prend la forme de deux résultats très récents : la différentiabilité et l’algébricité des feuilletages et le lien avec la théorie des noeuds.