birapport

rapport anharmonique
birapport sur un cercle
rapport anharmonique sur un cercle
rapport anharmonique de quatre points
rapport anharmonique de quatre nombres
rapport anharmonique de quatre droites
birapport de quatre points
birapport de quatre nombres
birapport de quatre droites

GEOMETRIE

Le birapport ou rapport anharmonique est une notion importante en géométrie, particulièrement en géométrie projective.
Cette notion remonte à Pappus d’Alexandrie . Le terme rapport anharmonique est, lui, dû à Chasles.

Birapport de 4 nombres : le birapport de 4 nombres (réels ou complexes) a, b, c, d pris dans cet ordre est [(a-c)/(a-d)]/[(b-c)/(b-d)].
Par passage à la limite, cette définition s’étend au cas où un des nombres devient infini.

Birapport de 4 points alignés : le birapport de 4 points alignés A, B, C, D est le birapport de leurs abscisses.

Il ne dépend pas du repère choisi.
Lorsque le birapport est égal à -1, les points forment une division harmonique.
Théorème : Le birapport est conservé par projection centrale.
Ce théorème conduit au birapport de quatre droites.

Birapport de 4 droites : 4 droites concourantes en O étant données (ou droites parallèles en introduisant le point à l’infini), les birapports de leurs points d’intersection sur toute droite qui les coupe est le même (d’après le théorème précédent). Ce birapport est le birapport des 4 droites.

C’est aussi le birapport des sinus des angles au sommet : (sin COA/sin COB)/(sin DOA/sin DOB).
Lorsque ce birapport est égal à -1, les droites forment un faisceau harmonique .

Birapport de 4 points sur un cercle : on considère 4 points A, B, C,D sur un cercle et un point P sur ce même cercle. D’après le théorème de l’angle inscrit , les angles APB, APC, etc. ne dépendent pas du point P. donc le birapport des sinus des angles non plus. Ce birapport est le birapport des 4 points du cercle.
Cette définition s’étend à 4 points sur une conique (d’après le théorème de Chasles-Steiner : une homographie entre deux faisceaux de droites définit une conique).