cercle de Taylor

GEOMETRIE

Propriété en géométrie du triangle.
Le cercle de Taylor est un cas particulier de cercle de Tücker .
Les projections des pieds des hauteurs sur les deux autres côtés d’un triangle forment six points situés sur un même cercle, appelé cercle de Taylor (mathématicien anglais 1685-1731).

Précisons :
Soit A’, B’ et C’ les pieds des hauteurs d’un triangle du triangle ABC non rectangle. On note A2 et A3 les projetés orthogonaux de A’ sur les côtés AB et AC du triangle et on définit de même B2 et B3 par rapport à B’ et C2 et C3 par rapport à C’. Les six points ainsi définis sont cocycliques : ils sont situés sur le cercle de Taylor du triangle.
L’hexagone dont les sommets sont ces six points est l’hexagone de Catalan .

Quelques propriétés :
1 – Les trois droites (A2A3), (B2B3) et (C2C3) joignant les projections sont parallèles aux côtés du triangle orthique et coupent ses côtés en leurs milieux P, Q et R : le triangle PQR est le triangle médian du triangle orthique.
2 – (A2A3, BC) = (AB, AC), la droite (A2A3) est antiparallèle de (BC) par rapport à (AB) et (AC), et les propriétés analogues pour (B2B3) et (C2C3).
3 – (B3C2) est parallèle à (BC). De même (A2C3) //(AC) et (A3B2)//(AB).
4 – Si le triangle ABC est acutangle (les trois angles aigus), le centre du cercle de Taylor est le centre du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique. Si le triangle ABC est obtus, le centre du cercle de Taylor est un des centre des cercles exinscrits du triangle PQR.