courbe isochrone
GEOMETRIE
Isochrone signifie « qui se produit à intervalles de temps égaux ».
En cartographie, une courbe isochrone relie les points accessibles d’un lieu donné en un temps donné. Par exemple, en hydrographie, c’est l’ensemble des points d’où une goutte d’eau met le même temps pour arriver à un point donné ou en urbanisme, celui d’où on peut accéder à un lieu donné (centre commercial, administration, .).
Le pendule cycloïdal de Huygens a des oscillations isochrones.
En géométrie, on étudie plusieurs courbes isochrones.
La courbe isochrone de Huygens est telle qu’un point matériel s’y déplaçant sans frottement a un mouvement périodique dont la période est indépendante de la position initiale ; la solution est une arche de cycloïde dont les points de rebroussement sont situés vers le haut. La période du mouvement est 2 π √(L/g) où L est la flèche de la cycloïde.
Le pendule cycloïdal de Huygens utilise cette propriété et le fait que la développée d’une cycloïde est une cycloïde égale.
La courbe isochrone de Leibniz, étudiée par Leibniz en 1687 et par Jacques Bernoulli en 1690 est telle que si une particule descend par gravité le long de cette courbe, la composante verticale de la vitesse est constante, le champ de pesanteur étant supposé uniforme. La solution est une parabole semi-cubique, la vitesse une vitesse initiale au sommet de la parabole doit être égale à égale à v0 = 3/2 √(ag/2) , pour que la parabole semi-cubique a y2 = x3 soit isochrone ; la composante verticale de la vitesse est alors constante égale à v0 (et la composante horizontale est proportionnelle à la racine carrée du temps).
La courbe isochrone de Varignon, étudiée par Varignon en 1699 est telle que si une particule descend par gravité le long de cette courbe, la composante verticale de la vitesse est constante, le vecteur d’accélération de la pesanteur étant supposé de norme constante et dirigé vers le centre de la terre (ce qui est faux physiquement d’après la loi de gravitation de Newton , que Varignon ne connaissait peut-être pas en 1699).
Une courbe isochrone paracentrique répond à une problème posé par Leibniz en 1689 et résolu par Jacques Bernoulli en 1694, c’est une courbe telle que si une particule descend par gravité le long d’elle, la distance de la particule à un point fixe O est proportionnelle au temps, le champ de pesanteur étant supposé uniforme ; autrement dit, la particule s’éloigne (ou s’approche) de O à vitesse constante.