Recherche de deux grandeurs connaissant leur produit et leur somme ou leur différence.

L’équivalence entre ce problème à deux inconnues et le problème associé du second degré à une inconnue n’est pas simple à percevoir clairement pour nos élèves et la lecture de quelques textes de la Renaissance européenne confirme que cette question est historiquement délicate.
Gosselin en 1577 traite la question du partage d’un nombre donné en deux parties de produit donné, donc de moyenne proportionnelle donnée, dans la première partie de son ouvrage, entièrement arithmétique, au chapitre intitulé « La division des proportions ». Il y fait référence à la proposition 5 du livre II des Eléments d’Euclide, en dehors de toute considération algébrique, donc loin de toute équation du second degré. Un peu plus tard, quand, en 1585, Stevin prend la peine de s’interroger sur la question du sens qu’il peut y avoir à trouver deux solutions (on ne s’intéresse toujours qu’aux solutions positives) pour une équation du second degré, il résout algébriquement la question du partage d’une somme en deux parties de produit donné pour expliquer la validité des deux solutions obtenues, opérant ainsi un rapprochement intéressant entre les deux questions.
C’est Viète qui franchit l’étape décisive. La modernité de Viète, celle de son Algèbre nouvelle (Tours, à partir de 1591), est pour une part le produit de sa fidélité à Euclide et à Diophante à la fois. Les Eléments d’Euclide (Alexandrie, IIIe siècle avant JC) sont disponibles en latin en Occident depuis le 15e siècle et constituent une référence incontournable. Ils renouvellent l’intérêt d’outils puissants comme la théorie des proportions. Les Arithmétiques de Diophante (Alexandrie, sans doute IIIe siècle après JC), diffusées en Occident depuis le milieu du 16e siècle, contiennent de nombreux problèmes et des méthodes originales qui stimulent les algébristes de la Renaissance européenne. Le souci apparaît chez plusieurs, dont Stevin, de « construire » de la même manière le numérique et le géométrique. Et c’est par la géométrie, dans les « Effections géométriques » (partie sept de l’Algèbre nouvelle) que Viète démontre l’équivalence, qui est au coeur de cet article, entre le problème à deux inconnues et l’équation du second degré à une inconnue associée. En raisonnant sur une figure euclidienne, il met en évidence une construction géométrique des solutions de l’équation dont les étapes sont exactement celles de la résolution numérique du problème à deux inconnues, telle qu’il la conduit dans les Zététiques (partie trois de l’Algèbre nouvelle), à la manière de Diophante.