Dans cet article l’auteur plaide en faveur d’un usage plus systématique du papier quadrillé comme source d’évidence en géométrie euclidienne. Celui-ci constitue une sorte de pré calcul sur les coordonnées tout en donnant à voir ce qui se passe, au sens fort du mot voir. L’usage systématique du papier quadrillé pourrait constituer ainsi une réalisation visuelle directe du programme de Descartes, lequel voulait dissiper tous les mystères. Sans doute joue en sa défaveur la trop grande simplicité de cette mise en évidence : pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué, comme diraient Euclide, Bourbaki et tous les pédants.
La géométrie de l’espace peut être conçue comme l’étude des dispositions spatiales des objets solides. La géométrie plane est alors une géométrie des puzzles. La pièce de puzzle la plus élémentaire est un triangle. Les deux premiers cas d’égalité des triangles peuvent dans ce cadre être compris comme des axiomes raisonnables que doit vérifier toute géométrie des puzzles. Et ils peuvent servir à fonder aussi bien la géométrie plane euclidienne que ses concurrentes, hyperbolique et sphérique (ou elliptique).
Pour faire le partage entre ces trois géométries, une figure fondamentale est donnée par le carré. Si les carrés ont des angles droits, on peut assembler quatre petits carrés identiques pour en faire un plus grand, deux fois par le coté, et quatre fois par la surface, ce qui n’échappa pas à Socrate ni à l’esclave admis dans la discussion, qui était donc bel et bien un être humain doué de raison. Ainsi était mise en évidence de manière prémonitoire la fabuleuse carrière à venir du papier quadrillé, assemblage indéfini de carrés tous identiques, un puzzle absolument dingue sur lequel se lit sans effort toute la géométrie euclidienne, avant de devenir le lieu où des générations d’élèves couchent leurs devoirs, leurs angoisses et parfois leurs enthousiasmes. Voir le papier quadrillé en filigrane de la feuille blanche, telle fut la conquête de Descartes, qui réduisit la géométrie à des arguments de comptage, redonnant toute sa dignité à l’esclave convoqué par Socrate.