nombre de Carmichael

ARITHMETIQUE

Un nombre de Carmichael est un entier composé positif n qui vérifie la propriété suivante :
pour tout entier a premier avec n, n est un diviseur de aⁿ – a
ou, ce qui est équivalent :
pour tout entier a premier avec n, n est un diviseur de a^n-1 – 1.

Le petit théorème de Fermat énonce que : « si p est un nombre premier et si a est un entier non divisible par p, alors a^p-1 – 1 est un multiple de p ». Sa réciproque est fausse. Les nombres de Carmichael vérifient la propriété mais ne sont pas premiers. Ce sont des « menteurs de Fermat ».
Les nombres de Carmichael sont des nombres pseudo-premiers .
Le théorème de Korselt (1899) donne une caractérisation des nombres de Carmichael, dont un corollaire est que les nombres de Carmichael sont le produit d’au moins trois nombres premiers distincts.

Leur nom vient de ce que Carmichael a trouvé, en 1909, le premier nombre vérifiant le théorème de Korselt.

Les premiers nombres de Carmichael sont : 561, 1105, 1729,.