Educational Studies in Mathematics. V. 50. N° 3. p. 335-346. Le rôle de la preuve dans la compréhension et l’enseignement de l’algèbre linéaire élémentaire.

English Title : The role of proof in comprehending and teaching elementary linear algebra.

Résumé

Cet article décrit comment il est possible d’enseigner efficacement l’algèbre linéaire élémentaire tout en introduisant aux élèves le concept et la pratique de la preuve mathématiques. C’est actuellement fait de façon non satisfaisante en utilisant une approche sophistiquée par Définition-Lemme-Démonstration-Théorème-Démonstration-Corollaire (DLPTPC) ; ceci est difficile, du fait que les étudiants en algèbre linéaire élémentaire ont très peu d’expérience en ce qui concerne les démonstrations et la rigueur mathématique. On peut à la place introduire les sujets et concepts d’algèbre linéaire d’une façon exploratoire et fondamentalement raisonnée. Une méthode apparemment performante de le faire est d’explorer le concept de solvabilité de systèmes linéaires tout d’abord à travers la forme échelon. Les questions de solvabilité conduisent à des critères sur les lignes et colonnes d’une matrice sous forme échelon qui peuvent être utilisés à plusieurs occasions pour : calculer des sous-espaces, établir une (in) dépendance linéaire, trouver des inverses, réaliser des changements de base, calculer des déterminants, analyser des systèmes propres etc. Si ces sujets sont expliqués de façon heuristique à partir des premiers principes des transformations linéaires, des équations linéaires, et de la forme échelon, les étudiants expérimentent la puissance d’une approche basée sur le concept et récoltent l’avantage d’une compréhension approfondie des maths. De plus, des démonstrations précoces de points importants conduisent à une compréhension intuitive de la preuve mathématique. Une fois le concept basique de preuve enraciné chez les étudiants, des preuves plus abstraites, même des exposés du style DLPTPC, sur les matrices normales, la SVD etc. deviennent accessibles et compréhensibles aux étudiants de deuxième année. Avec l’aide de cette approche en douceur et précoce, la notion et la construction d’une preuve mathématique sont profondément intégrées dans le cerveau des étudiants et les aideront dans leurs futures cours de mathématiques et dans leur raisonnement scientifique en général.

Abstract

We describe how elementary Linear Algebra can be taught successfully while introducing students to the concept and practice of ‘mathematical proof’. This is done badly with a sophisticated Definition-Lemma-Proof-Theorem-Proof-Corollary (DLPTPC) approach; hardly – since students in elementary Linear Algebra courses have very little experience with proofs and mathematical rigor. Instead, the subjects and concepts of Linear Algebra can be introduced in an exploratory and fundamentally reasoned way. One seemingly successful way to do this is to explore the concept of solvability of linear systems first via the row echelon form (REF). Solvability questions lead to row and column criteria for a REF that can be used repeatedly to: compute subspaces, settle linear (in)dependence, find inverses, perform basis change, compute determinants, analyze eigensystems etc. If these subjects are explained heuristically from the first principles of linear transformations, linear equations, and the REF, students experience the power of a concept-built approach and reap the benefit of deep math understanding. Moreover, early ‘salient point’proofs lead to an intuitive understanding of ‘math proof’. Once the basic concept of ‘proof’is ingrained in students, more abstract proofs, even DLPTPC style expositions, on normal matrices, the SVD etc. become accessible and understandable to sophomore students. With the help of this gentle early approach, the concept and construct of a ‘math proof’becomes firmly embedded in the students’minds and helps with future math courses and general scientific reasoning.

Notes

« Educational Studies in Mathematics » (ESM) est une revue internationale de recherches sur l’enseignement et l’apprentissage des mathématiques : ESM (ISSN Online : 1573-0816)

Données de publication

Éditeur Springer Netherlands Dordrecht , 2002 Format p. 335-346
ISSN 0013-1954

Public visé chercheur, enseignant Niveau licence Âge 18, 19, 20

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier