théorème de Fubini

théorème de Fubini-Tonelli

ANALYSE

Théorème démontré indépendamment par Fubini et Tonelli, concernant le calcul d’intégrales sur des ensembles produits :
Soient (X, A, μ) et (Y, B, ν) deux espaces mesurés tels que les deux mesures soient σ-finies (une mesure est σ-finie lorsqu’il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie)
et soit (XxY, AxB, μxν) l’espace mesurable produit muni de la mesure produit.
Si f : X x Y → [0, +∞]
est une application AxB-mesurable, alors les applications
x → ∫Y f(x, y) dν(y) et y → ∫X f(x, y) dμ(x)
sont respectivement A- et B-mesurables et
∫XxY f(x, y) d(μxν)(x, y) = ∫X [ ∫Y f(x, y) dν(y) ] dμ(x) = ∫Y [ ∫X f(x, y) dμ(x) ] dν(y)