triplet pythagoricien
triplet de Pythagore
triangle de Pythagore
triangle pythagoricien
ARITHMETIQUE
GEOMETRIE
Un triplet pythagoricien est un triplet d’entiers naturels non nuls (x; y; z) vérifiant la relation de Pythagore : x2 + y2 = z2.
Un triplet pythagoricien est dit primitif si les trois naturels x, y, z sont premiers entre eux. Exemple : (3,4,5). On obtient évidemment d’autres triplets pythagoriciens en multipliant x, y et z par un même entier non nul. Pour rechercher des triplets pythagoriciens on peut donc se limiter à la recherche de cas où x, y et z sont premiers entre eux.
On démontre (simple) que x et y sont de parités différentes.
La recherche de triplets pythagoriciens primitifs s’appuie sur le théorème suivant :
les deux énoncés suivants sont équivalents :
A. (x, y, z) est un triplet pythagoricien
B. Il existe deux entiers non nuls distincts p et q, avec p > q, tels que :
x=p2-q2 ; y=2pq ; z=p2+q2.
Le plus ancien document sur lequel apparaissent des triplets pythagoriciens semble être la tablette Plimpton 322 , découverte au début du 19e siècle, qu’on date du 18e siècle avant J.C. (donc très antérieure à Pythagore ) et qui comporte un tableau de nombres cunéiformes qui semblent être des triplets pythagoriciens.
On appelle triangle pythagoricien ou triangle de Pythagore, un triangle rectangle dont les mesures a, b et c des longueurs de ses côtés forment un triplet pythagoricien. Le plus simple a des côtés de mesure 3, 4 et 5 (voir corde à 13 noeuds ).