triangle de Pascal

triangle algébrique
triangle arithmétique

ARITHMETIQUE

Le triangle que nous appelons triangle de Pascal ou triangle arithmétique était connu longtemps avant Pascal mais en 1654 celui-ci lui consacre le Traité du triangle arithmétique où il démontre des propriétés qui, pour certaines, étaient connues avant lui mais pas démontrées.
Il contient, sous forme d’un triangle, les coefficients de la formule du binôme de Newton en utilisant un raisonnement par récurrence.
La formule de Pascal donne le coefficient de la ligne i et de la colonne j : c’est la somme du coefficient de la ligne i-1 et colonne j-1 et du coefficient de la ligne j-1 et colonne j.

Outre les coefficients du binôme, on retrouve dans ce triangle de nombreuses propriétés : nombre de chemins dans un réseau binaire (nombre de chemins d’un coefficient à un autre sans jamais faire de « marche arrière »), suite de Fibonacci (la somme des coefficients en diagonale), propriétés liées au dénombrement, nombres de Catalan , nombres figurés , formules trigonométriques (en utilisant la formule de Moivre ), .

Le triangle de Pascal, ou du moins les premières lignes de ce triangle, étaient déjà connu de mathématiciens persans (au 10e siècle Al-Karaji , Omar Al-Khayyam ), chinois (au 11e siècle Jia Xian, au 13e Yang Hui qui l’utilise pour la recherche des racines carrées et des racines cubiques). En Europe, on le trouve dans des ouvrages de Peter Apian , Michael Stifel , Tartaglia ou Viète . En Italie il est appelé triangle de Tartaglia, en Chine triangle de Yang Hui.

Le triangle de Pascal se généralise à des dimensions supérieures : en dimension 3 c’est la pyramide (ou le tétraèdre) de Pascal, en dimension d un simplexe de Pascal.