Les « mathématiques modernes » n’avaient pas de rapport au réel. En 1986, la question de la pertinence de ces mathématiques a conduit aux nouveaux programmes privilégiant les problèmes réels et la démarche expérimentale, en mettant les élèves en situation d’activité. En mathématique, la modélisation est une « représentation » au sens de nouvelle description liée au modèle choisi. La géométrie est une première modélisation, géométrie euclidienne, géométrie sphérique selon le cas. On distingue la géométries « naturelle » concernant les objets physiques et la géométrie « axiomatique naturelle » des objets idéalisés. L’auteur montre les interactions entre les deux et traite un exercice nécessitant le passage de l’une à l’autre. Par contre, la géométrie « axiomatique formelle » ne permet pas le retour à la réalité.
Le monde des « nombres » naît du monde des « grandeurs » via la « mesure ».
L’auteur fait l’historique des « entiers naturels », du système décimal, du calcul (opérations et algorithmes). Il montre que l’appel au réel peut être un obstacle pour la résolution de certains problèmes. Puis il passe à la notion de codage et à la réversibilité du traitement dans un modèle (fonction piège).
Ensuite vient le passage de l’arithmétique à l’algèbre et la résolution d’équations par la géométrie (Al-Kwarizmi) et l’apport du monde arabe. Suit le passage du discret au continu, modèle privilégié du traitement mathématique avec la mise en forme de la droite réelle. L’informatique a fait apparaître la notion de « nombre calculable » et à contrario de nombres « définissables » mais totalement « inreprésentables » et « inconnaissables », pour lesquels le rapport à la réalité n’a plus de sens.
Un deuxième article traitera du rapport des mathématiques à la réalité avec les statistiques et les probabilités.