Cet article est le texte d’une conférence donnée dans le cadre d’un séminaire qui s’est tenu en 1965 à Echternach au Luxembourg. L’auteur y critique le fait que dans l’enseignement secondaire l’on travaille « en vase clos » et sur des « blocs entiers de mathématiques … devenus totalement inactuels … et qu’on peut proprement qualifier de fossiles. » Ardant défenseur de l’introduction de l’algèbre linéaire dans le second degré, Dieudonné se demande par exemple :  » en quoi l’algèbre linéaire, cet algorithme aussi simple dans son principe que protéiforme dans ses applications, formerait-elle moins l’esprit que les pénibles échafaudages de Hilbert ou de ses adaptateurs modernes ? ». Aussi se propose-t-il de « montrer comment l’algèbre linéaire des mathématiciens modernes est au contraire devenue la sève nourricière des mathématiques vivantes. »

Ce texte comporte quatre parties :
1. Les difficultés du dialogue entre l’enseignement secondaire et l’enseignement supérieur, et les mathématiques fossiles.
2. Les niveaux de l’algèbre linéaire : Dieudonné distingue six niveaux: – un premier niveau, le plus élémentaire, avec l’étude des espaces vectoriels sur le corps R des réels – un second niveau sous forme d’un premier pas dans l’abstrait avec des espaces vectoriels à un nombre quelconque n de dimensions – un troisième niveau avec une généralisation dans la direction du passage du « fini à l’infini » comme y invite l’analyse fonctionnelle – un quatrième niveau avec une généralisation de la théorie générale des espaces vectoriels (de dimension finie ou non), capitale dans l’algèbre moderne – un cinquième niveau sous forme d’une étape avec la théorie des modules- un sixième niveau dans lequel on a recours à l’algèbre homologique, la plus complexe et la plus difficile des branches de l’algèbre linéaire.
3. Les applications de l’algèbre linéaire : Dieudonné propose une classification pour mettre de l’ordre dans l’amoncellement des théories : – le domaine originel de l’algèbre linéaire : géométrie élémentaire avec le « Programme d’Erlangen de Félix Klein; théories « linéaires » du calcul infinitésimal (équations différentielles, équations aux dérivées partielles, équations intégrales) – les conquêtes de l’algèbre linéaire : l’idée d’approximation linéaire du calcul différentiel, de la géométrie différentielle, de la topologie différentielle; linéarisation de l’algèbre (théorie de Galois, groupes abéliens), de l’arithmétique, de la topologie algébrique – la métaphysique de l’algèbre linéaire (maniement de la théorie moderne des « catégories » et des « foncteurs ».
4. L’algèbre linéaire et la géométrie fossile