Bulletin de l’APMEP. N° 325. p. 652-657. Identités hyperboliques et fibonacciennes associées.

English Title : Hyperbolic identities and related Fibonacci identities. (ZDM/Mathdi)
Deutscher Titel : Hyperbolische und damit zusammenhaengende fibonaccische Identitaeten. (ZDM/Mathdi)

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Auteur : Ehrhart Eugène

Résumé

On sait que la suite de Fibonacci est définie de façon récurrente par F(n)=F(n-1)+F(n-2). La suite des nombres de Lucas suit la même formule de récurrence, mais dans ce cas, les valeurs initiales sont 1 et 3. En théorie des nombres les identités F(n)=(an-bn)/(a-b) et L(n)=an+bn sont prouvées, a et b étant les racines positives et négatives de l’équation du second degré x%B2-x-1=0. En remplaçant a par exp(A) et b par exp(-A) (5/2) F(n)=sh(nA) pour n pair et (5/2) F(n)=ch(nA) pour n impair sont obtenues, sh et ch étant le sinus et le cosinus hyperboliques. De même L(n)=2sh(nA) pour n pair et L(n)=2sh(nA). On peut évidemment à l’aide des deux identités obtenues transférer des équations entre ch et sh en équations entre nombres de Fibonacci et de Lucas et réciproquement. L’auteur le montre sur quelques exemples.

Abstract

We know that the sequence of Fibonacci numbers is recursively defined by Fsub(n)=Fsub(n)-[+Fsub(n)- with the initial values F[=F=1. The sequence of Lucas numbers follows from the same recursion Lsub(n)=Lsub(n)-[+Lsub(n)- , but in this case the initial values are L[=1 and L=3. In number theory the identities Fsub(n)=asup(n)-bsup(n)/(a-b) and Lsub(n)=asup(n)+bsup(n) are shown, a or b being the positive respectively negative root of the quadratic equation x-x-1=0. By replacing a=exp(A) and thus b=-exp(-A) the identities (5/2) Fsub(n)=sh(nA) are the result if n is even, (5/2) Fsub(n)=ch(nA) if n is odd; thereby sh or ch point out the hyperbolic sine or cosine. Accordingly for even n is Lsub(n)=2sh(nA) and for odd n is Lsub(n)=2sh(nA). Evidently by means of these two identities equations between sh and ch can be transferred to equations between the Fibonacci and the Lucas numbers and vice versa. The author shows this in some examples. (ZDM/Mathdi)

Zusammenfassung

Bekanntlich wird die Folge der FIBONACCI-Zahlen rekursiv durch Fsub(n)=Fsub(n)-[+Fsub(n)- mit den Anfangswerten F[=F=1 definiert. Die Folge der Lucas-Zahlen fliesst aus derselben Rekursion Lsub(n)=Lsub(n)-[+Lsub(n)- ; jedoch sind hier die Anfangswerte L[=1 und L=3. In der Zahlentheorie zeigt man die Identitaeten Fsub(n)=asup(n)-bsup(n)/(a-b) und Lsub(n)=asup(n)-bsup(n), wobei a bzw. b die positive bzw. negative Wurzel der quadratischen Gleichung x-x-1=0 ist. Durch die Substitution a=exp(A) und damit b=-exp(-A) erhaelt man daraus (d5/2) Fsub(n)=sh(nA), falls n gerade, (5/2) Fsub(n)=ch(nA), falls n ungerade, wobei sh bzw. ch den sinus bzw. cosinus hyperbolicus bezeichnen. Entsprechend gilt fuer gerades n Lsub(n)=2sh(nA) und fuer ungerades n Lsub(n)=2sh(nA). Offenbar koennen durch diese beiden Identitaten Gleichungen zwischen sh und ch auf Gleichungen zwischen den Fibonacci- und den Lucas-Zahlen uebertragen werden und umgekehrt. Dies zeigt der Autor an einigen Beispielen auf. (ZDM/Mathdi)

Notes

Cet article est publié sous la rubrique « Courrier des lecteurs ».

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Il paraît 5 fois par an de sa création à 2018, année où suite à un changement de politique éditoriale, l’APMEP publie une revue unique Au Fil des Maths – le Bullletin de l’APMEP.

Données de publication

Éditeur Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) Paris , 1980 Format A5, p. 652-657
ISSN 0240-5709

Public visé chercheur, enseignant, formateur

Type article de périodique ou revue Langue français Support papier