Dans cette communication, une synthèse des aspects théoriques du travail de thèse de l’auteur est présentée ainsi que quelques résultats expérimentaux. Ce travail s’inscrit dans le cadre de recherches sur l’articulation entre logique et raisonnement mathématique dans une perspective didactique.
Dans la première partie de l’exposé, figurent les éléments d’une étude théorique sur le formalisme mathématique, qui a fourni un cadre de référence pour analyser les résultats d’une première expérimentation. L’objectif de cette expérimentation est d’étudier, à travers un exercice, la gestion des quantificateurs universel et existentiel entre l’explicite et l’implicite, par des étudiants de première année universitaire. Cette étude confirme la grande sensibilité des résultats aux contenus, des difficultés dans la production d’un argument mathématique et des phénomènes liés à la dépendance des lettres variables. Ceci a conduit à approfondir les analyses didactiques en choisissant un objet sensible enseigné à l’université : il s’agit de la notion de borne supérieure. Cette étude fait l’objet de la deuxième partie de l’exposé.
Dans la deuxième partie, est exposée une formalisation logique des objets et des structures qui interviennent dans la définition de l’objet borne supérieure. Ce travail illustre la thèse de Quine (1960, 1970) selon laquelle l’enrégimentement des énoncés dans le calcul des prédicats est la pierre de touche de la clarté conceptuelle. Une analyse des manuels et des notes de cours autour de l’objet borne supérieure à la lumière de l’étude précédente est proposée. Les résultats montrent la variété des choix de présentations pour définir des objets et des structures mathématiques, révélant une sous estimation de cette complexité et laissant prévoir des difficultés de manipulation des définitions par les étudiants. Ceci a conduit à mettre en place une deuxième expérimentation avec des binômes d’étudiants dans une situation de résolution d’exercice et un entretien, autour de l’objet borne supérieure. Cette étude a fait apparaître, d’une part, des phénomènes didactiques liés à l’alternance des deux types des quantificateurs, et d’autre part des difficultés dans la mobilisation de la définition des objets et des structures qui illustrent un problème majeur dans le processus de conceptualisation.