Ce texte est la première partie d’une étude qui essaie de présenter les fondements et les méthodes de la didactique des mathématiques.
Il s’agit de rassembler un certain nombre de concepts introduits depuis quelques années déjà, et de les organiser de façon à les faire apparaître comme des éléments d’une théorie.
La méthode d’exposition choisie est assez lente car elle fait dépendre l’introduction de chaque concept nouveau de trois problématiques distinctes.
La première est celle de la pertinence. Il s’agit d’abord de décrire un certain type de relations humaines de façon à faire apparaître les concepts de didactique comme des moyens utiles à cette description. Les nouveaux exemples que la communauté des didacticiens accumule depuis dix ans ont permis de « montrer » des phénomènes de didactique ; le vieillissement, les effets du contrat.., mais ces « observations » apparaîtraient comme, soit excessivement banales, soit tout à fait étranges et singulières, si elles n’étaient pas articulées les unes par rapport aux autres jusqu’à donner une véritable méthode d’analyse de tout phénomène d’enseignement.
Cette lecture relève d’une deuxième problématique, celle de l’exhaustivité. Il s’agit de faire en sorte que tous les phénomènes pertinents puissent être pris en considération.
La troisième problématique est celle de la consistance ; c’est peut-être la plus nouvelle car, si les professeurs, dans l’exercice de leur profession, utilisent des concepts pertinents qui tendent à permettre de traiter tous les cas, ils n’assurent pas- ;ils n’ont pas à assurer- ;la charge de consistance de ces concepts.
Le chapitre 1 a esquissé les objets des études de Didactique : la description et l’explication des activités liées à la communication des savoirs et les transformations, intentionnelles ou non, des protagonistes de cette communication, ainsi que les transformations du savoir lui-même.
Le chapitre 2 examine quelques phénomènes liés à l’activité d’enseignement (effet « Topaze » effet « Jourdain », glissement métadidactique, usage abusif de l’analogie, vieillissement des situations). Ce sont les phénomènes qui se produisent lors de l’activité d’enseignement qui déterminent le champ à théoriser et non l’activité elle-même.
Le chapitre 3 étudie alors comment regrouper et hiérarchiser la multitude des conditions à étudier. Il s’agit d’abord de simplifier suffisamment les premières approches pour, d’une part, isoler certaines catégories de faits explicables ensemble de façon à peu près indépendante et d’autre part, permettre la mise en évidence des interactions essentielles et les processus.
Ce texte opère un renversement par rapport à la tendance classique qui consiste à étudier indépendamment les sous-systèmes du système didactique : l’enseigné, l’enseignant, le milieu, relativement à un savoir, puis à tenter de dériver de ces études des comportements éducatifs ou d’apprentissage.
Dans le chapitre 3, c’est le système entier qui est pris d’emblée comme objet d’étude et le découpage se fait en hyposystèmes que nous appelons « situations ». Cette étude permet la mise en lumière, dans le chapitre 4, d’un certain nombre de paradoxes qui constituent, en fait, les pierres de touche de toute théorisation des phénomènes didactiques. Ces paradoxes condamnent l’enseignement à être un processus, une didactique et non pas seulement une interaction de systèmes.
A ce moment, il apparaît deux voies d’études : celles des contraintes externes qui pèsent sur ces processus, celles des contraintes internes. Le chapitre 5 s’engage dans l’étude des contraintes internes : il s’agit de modéliser par des jeux formels ces rapports locaux qui s’établissent entre les protagonistes, puis d’utiliser ces modélisations pour une approche systémique dans laquelle les chaînes d’événements nécessaires sont confrontées aux chaînes d’événements observés.
Bien que probablement la plus discutable, cette voie nous a paru la plus utile actuellement dans la perspective d’une production effective d’ingénierie et de méthodes d’observation.
Le chapitre 6 présente alors les éléments fondamentaux de l’étude des situations : les types de situations a-didactiques (action, formulation, validation).