La méthode Newton-Raphson est un algorithme de recherche de zéro d’une fonction réelle par approximations linéaires successives. Dans cet article et après avoir discuté de ses ramifications historiques et de ses principes mathématiques, l’auteur propose une implémentation interactive dans un environnement adapté de géométrie interactive et de programmation. Avant d’entamer la méthode Newton-Raphson, l’auteur de l’article présente une réalisation qui utilise la méthode de Héron. Cette technique extrait la racine carrée d’un nombre positif a. Il s’agit de rechercher par itérations successives des rectangles de plus en plus proche d’un carré et d’aires toujours égales à a. Cela nous donne une suite de la forme x_{n+1}=rac{1}{2 }left(x_n+rac{a}{x_n} ight) convergente vers sqrta. Plus pratiquement, il est aisé d’écrire un petit programme en Pharo depuis l’espace de travail de Dr. Geo : en exécutant le programme, on obtient une approximation sous forme de fraction. Quelques légers ajouts permettent de visualiser cette suite de rectangles convergents très rapidement vers un carré. Dans la suite de l’article, l’auteur s’intéresse à la méthode de Newton-Raphson et à montrer comment la méthode de Héron en est un cas particulier. D’un point de vue géométrique, cette méthode revient à substituer une série de droites à la courbe de la fonction dont on recherche un zéro. Ces droites sont les tangentes, meilleures approximations locales de degré 1 à la courbe. Un choix important est celui de la première tangente. Pour quelle abscisse x₀ celle-ci sera-t-elle choisie ? Comment ce choix influe-t-il sur la convergence vers le zéro de la fonction ? C’est la lecture de l’article qui nous permettra de découvrir ces secrets.