L’auteur passe en revue quelques raisonnements liés au tracé d’une hauteur dans un triangle. Ils font partie du patrimoine mathématique depuis de nombreux siècles, et se sont révélés extrêmement fertiles au fil de l’histoire. Ils sont encore sources d’exercices et d’activités pédagogiques utilisables à tous les niveaux. Nous allons suivre successivement des avatars de cette figure, dans trois de ses cas particuliers. La logique historique suggère de commencer par la figure la plus simple, qui est la plus ancienne : un triangle rectangle isocèle, soit la moitié d’un carré coupé par une de ses diagonales. La hauteur abaissée à partir de l’angle droit le partage en deux moitiés isométriques : deux autres triangles rectangles isocèles. Plusieurs indices accréditent l’antiquité de cette figure : traces archéologiques en Mésopotamie, Sulba Sutras en Inde, lunules d’Hippocrate, dialogue de Platon. La partie suivante sera consacrée au cas d’un triangle rectangle quelconque, coupé par la hauteur issue de l’angle droit, en deux triangles semblables au premier. Cette figure, recyclée dans plusieurs problèmes grecs, était encore utilisée deux millénaires plus tard, pour traduire par l’orthogonalité, les racines carrées de nombres négatifs. Le cas des triangles isocèles quelconques est traité dans la troisième partie. Le découpage d’un tel triangle par une hauteur est lié au développement de la trigonométrie d’une part, au calcul d’approximations de π par la méthode d’exhaustion, d’autre part. Chacune des situations dont l’aspect historique sera développé dans ce qui suit, peut être déclinée en une séance liée au programme de géométrie, pouvant aller du cycle 2 jusqu’au lycée.