Grâce à un grand nombre de figures réalisées par Daniel Muller avec le logiciel Geospace, ce livre nous fait entrer pas à pas dans le monde des hyperpolyèdres réguliers de dimension 4, là où les mathématiques deviennent un art. Sans connaissance préalable, chacun pourra ainsi visualiser ces étonnantes constructions. Un tableau récapitulatif et un glossaire présents en fin d’ouvrage en facilite sa lecture.
Le premier chapitre est consacré au problème du miroir suivant les quatre points de vue du linguiste, du physicien, du philosophe et du cognitiviste et souligne l’identité de construction des concepts, qu’ils soient ou non mathématiques. L’hypercube (16 sommets, 32 arêtes, 24 faces et 8 « cellules » cubiques) est ensuite défini comme le cube peut l’être à partir du carré, ainsi que ses diverses représentations ; on observe les deux tétraèdres obtenus en gardant un sommet sur deux d’un cube, d’où la division de l’hypercube en deux demi-hypercubes, puis les sections diagonales du cube et de l’hypercube. Le dual d’un hypercube est un hyperoctaèdre (8 sommets, 24 arêtes, 32 faces et 16 cellules), cet hyperoctaèdre s’identifiant d’ailleurs à un demi-hypercube. On passe de là à l’hypergranatoèdre (24 sommets et cellules, 96 arêtes et faces). Pour progresser, il faut introduire les groupes finis ainsi que le corps des quaternions. Le dernier chapitre est consacré à deux monstres : l’hypericosaèdre (120 sommets et 720 arêtes) et l’hyperdodécaèdre (600 sommets et 1200 arêtes).