Cet ouvrage rassemble, outre la préface de Roshdi Rashed, quinze monographies de Christian Houzel qui est à la fois spécialiste de géométrie algébrique et historien des sciences. La plupart ont déjà été publiées dans diverses revues spécialisées ou de vulgarisation mais les autres sont originales et assurent la cohésion de l’ensemble tout en facilitant sa lecture.
Le premier texte survole l’histoire des équations algébriques de Al-Khwarizmi au IXe siècle jusqu’à Gauss et Abel au XIXe. Le second analyse le traité « Les équations » de Sharaf al-Din al-Tusi (XIIe), consacré à la résolution des équations cubiques. Le troisième présente le travail de d’Alembert sur le théorème fondamental de l’algèbre, le quatrième les travaux du XVIIIe sur la résolution algébrique des équations et le suivant prolonge le thème à Lagrange et Galois. Le sixième, inédit, est consacré à deux mémoires (1804 et 1813) de Ruffini sur la résolution numérique des équations algébriques. Le septième, lui aussi inédit, présente la résolution de l’équation du cinquième degré à l’aide des fonctions elliptiques (Hermite, Kronecker, Brioshi). Ces sept chapitres, d’une dizaine de pages chacun, sont très abordables et peuvent être le départ d’un travail en atelier ou d’un TIPE ; leur lecture apportera aux agrégatifs des repères historiques précis et une vue perspective nouvelle sur leurs connaissances.
Le chapitre VIII occupe à lui seul une centaine de pages qui constituent la version intégrale d’un texte antérieur. Il détaille le développement au XIXe de la théorie des fonctions elliptiques à partir des intégrales elliptiques puis des intégrales abéliennes. Le suivant décrit le passage d’une à plusieurs variables complexes dans le problème d’inversion de Jacobi pour les intégrales abéliennes ; l’auteur y aborde la géométrie algébrique en dimension supérieure. Le chapitre X traite des travaux de Picard sur les surfaces algébriques ; il est complété par le suivant, inédit, consacré aux articles (1893-1906) de G. Humbert sur les surfaces hyperelliptiques.
Le chapitre XII, lui aussi inédit, sert d’introduction au suivant selon une démarche historique sur la longue durée à partir de l’analogie entre l’écriture décimale illimitée des nombres et les fonctions entières.
Le chapitre XIII est consacré aux débuts de la géométrie algébrique abstraite et aux travaux qui ont amené André Weil à formuler en 1949 ses célèbres conjectures. Le suivant suit la théorie des faisceaux dans ses développements tout au long de la seconde moitié du dernier siècle (J. Leray, H. Cartan, J.-P. Serre, A. Grothendieck, …).
Le dernier, publié sous une forme abrégée dans LA RECHERCHE en 1979, donne quelques exemples de problèmes résolus entre 1968 et 1978.