Les mathématiques discrètes sont la partie des mathématiques qui s’intéresse à des objets « énumérables » comme une succession de nombres entiers, un réseau routier fait de carrefours reliés par des routes, le codage et l’interprétation de données mises sous la forme d’une suite de 0 et de 1, etc. Encore balbutiantes au début du XXe siècle, les mathématiques discrètes ont, depuis, pris leur essor, notamment sous l’impulsion de l’informatique. Elles constituent un élément essentiel du paysage mathématique contemporain et concernent, entre autres, la combinatoire, les systèmes dynamiques, l’algorithmique, la complexité, la théorie des nombres ou encore les probabilités.
Dans cet ouvrage, quatre situations de mathématiques discrètes sont considérées :
– le dénombrement d’une collection avec des arbres binaires, des séries génératrices permettant d’appréhender en une seule formule une infinité de nombres différents tout en dispensant d’avoir à connaître chacun individuellement(Jean-Christophe Novelli) ;
– les suites de Fibonacci aléatoires, au carrefour des systèmes dynamiques, des probabilités et de la théorie des nombres (Benoît Rittaud) ;
– les images numériques font aujourd’hui partie de la vie quotidienne et ce grâce à des travaux purement mathématiques qui ont permis de répondre à des questions comme la meilleure façon de coder une image dans un ordinateur, la réduction de la taille d’un fichier d’image, la restauration d’une image abîmée ou encore l’automatisation de la reconnaissance des visages (Elise Janvresse et Thierry de la Rue) ;
– la suite de Morse, suite de 0 et de 1 qui a été considérée aussi bien par des théoriciens de la combinatoire des mots que par des champions et dont l’étude est l’occasion d’illustrer divers outils des mathématiques contemporaines comme la dynamique substitutive, les suites automatiques ou encore la notion de complexité (Emmanuel Lesigne).