L’auteur raconte l’histoire du théorème d’uniformisation, d’Hipparque et Ptolémée jusqu’à Grigori Perelman, en passant par Poincaré, qui l’a prouvé.
Hipparque et Ptolémée sont les premiers à s’être intéressés à la représentation de la terre et du ciel étoilé. L’auteur explique à ce sujet la projection stéréographique.
Vingt siècles plus tard, on arrive à Gauss et son théorème de représentation conforme local.
L’auteur évoque ensuite les surfaces de Riemann, puis les trois géométries (euclidienne, hyperbolique et sphérique), et énonce le théorème d’uniformisation de Poincaré : Toute surface peut être uniformisée par l’une des trois géométries : euclidienne, sphérique, ou hyperbolique.
L’auteur évoque enfin les travaux de Thurston (métriques de Thurston) et Perelman sur les espaces de dimension 3.