Ce film de 24 minutes fait partie de la série de films la « Dynamique Holomorphe » qui offre au chercheur comme à l’enseignant, l’étudiant ou l’élève, des images remarquables, à la fois supports et objets même d’étude.
A travers ce film, Adrien Douady traite d’un ensemble de Julia lié à la transformation z->z2+c.

Les différentes phases du film sont :
1. La naissance du Lapin
Elever un nombre complexe au carré, c’est élever la distance à 0 au carré (ce qui rapproche le point s’il est à distance < 1), et doubler l'argument.
Ce que nous allons itérer, c’est : z-> z2+c, qui consiste à élever z au carré, puis à translater par une valeur c=-0.12+0.74.i, qui a été choisie d’une façon particulière.

2. Trois questions se posent naturellement :
– Que se passe-t-il pour les points qui s’échappent ?
– Que signifie cycler ?
– Y-a-t-il des points qui n’ont aucun de ces deux comportements?

3. Etude interne
On peut colorier l’intérieur en fonction de la vitesse avec laquelle les points sont attirés par le cycle. De même l’extérieur en fonction du temps d’échappement.
On construit un système d’adresses grâce auquel on peut désigner chaque composante et décrire complètement la dynamique des composantes.

4. Dynamique du bord
L’application sur l’ensemble de Julia n’est pas bijective : une moitié du lapin a pour image le lapin tout entier.

5. Etude externe
Le potentiel – potentiel électrostatique créé par un prisme profilé suivant le lapin – s’exprime en fonction du temps d’échappement.
Cela permet de définir à l’extérieur des coordonnées « potentiel et argument externe » dans lesquelles l’application z->z2 +c s’exprime comme z->z2 .

6. Disque pincé
Les points où plusieurs rayons externes arrivent permettent de dire comment il faut pincer un disque pour reconstituer le lapin.