Dehn Max

ELEMENTS DE BIOGRAPHIE
GEOMETRIE

Max Dehn (1878-1952) est un mathématicien allemand.
Max Dehn fait ses études supérieures à Fribourg-en-Brisgau et à Göttingen où il est l’élève de Hilbert avec qui il étudie les fondements de la géométrie et la nécessité ou non d’inclure l’axiome de continuité d’Archimède . Il soutient sa thèse (1899), sur Les théorèmes legendriens sur la somme des angles dans le triangle.
Il enseigne dans diverses universités et en 1921 il est nommé à Francfort (où il remplace Bieberbach ) où il restera jusqu’en 1935 où, suite à l’arrivée des nazis, il doit quitter son poste à cause de ses origines juives, et même fuir l’Allemagne en 1938. Au terme d’un parcours compliqué, il émigre aux Etats-Unis où il n’obtiendra pas de poste digne de ses compétences.
Dès 1900 il avait résolu le troisième problème de Hilbert : La méthode euclidienne de décomposition en polyèdres congruents est-elle applicable à tous les volumes ?
Dehn résout ce problème par la négative (alors que le problème analogue pour des polygones a pour réponse oui), il montre la nécessité de l’axiome d’Archimède pour la construction cohérente d’une géométrie en dimension 3. Dans sa démonstration il invente un invariant (l’invariant de Dehn) qui dépend des angles polyèdres et n’est pas le même pour un cube ou pour un tétraèdre.
Son intérêt se porte ensuite vers la topologie et la théorie combinatoire des groupes (1907), ainsi que la théorie des nœuds.
En 1911 il avait posé trois problèmes sur les groupes infinis dénombrables dont l’un qu’il intitule « problème de l’isomoorphie » : Peut-on exhiber un algorithme susceptible de prouver que deux groupes donnés, de cardinal infini dénombrable, sont isomorphes ? Ce problème relève de la théorie de la décision et deviendra le problème des mots, dont Piotr Novikov (1901-1975, père de Sergueï Novikov) en 1955 puis William Boone (1920-1983) deux ans plus tard démontreront l’indécidabilité.
Dehn s’était aussi intéressé au problème du pavage carré : Un rectangle (ou un carré) peut-il être découpé (pavé) en carrés deux à deux distincts ? Le problème a un aspect ludique mais est difficile. Dehn a montré qu’une condition nécessaire et suffisante est que le rapport de la longueur à la largeur soit rationnel (côtés commensurables). Dans le cas du carré, la condition est remplie. Le nombre de carrés utilisés pour le pavage est l’ordre de ce pavage, pour le carré le plus petit ordre est 21 (et le côté du carré est de 112 unités).