identité des quatre carrés d’Euler

ARITHMETIQUE

Egalité démontrée par Euler en 1748, qui énonce que le produit de deux nombres, chacun étant la somme de quatre carrés, est lui-même une somme de quatre carrés :
(a1²+a2²+a3²+a4²)(b1²+b2²+b3²+b4²) =
(a1b1 – a2b2 – a3b3 – a4b4)² +
(a1b2 + a2b1 + a3b4 – a4b3)² +
(a1b3 – a2b4 + a3b1 + a4b2)² +
(a1b4 + a2b3 – a3b2 + a4b1)²

Elle se démontre par un calcul d’algèbre élémentaire et est valide pour les ak et bk appartenant à tout anneau commutatif. Dans le cas particulier où cet anneau est le corps des réels, l’identité exprime le fait que la norme du produit de deux quaternions est égale au produit de leurs normes.
Le théorème des quatre carrés de Lagrange s’appuie sur cette identité.