Le but de ce travail est d’abord de mettre en évidence le manque d’outils et de techniques vectoriels véritablement efficaces pour traiter les questions de géométrie au lycée en France, d’en analyser ensuite les raisons et enfin de proposer sur ce thème des éléments d’ingénierie curriculaire, du point de vue de l’organisation mathématique et de l’organisation didactique.
La partie 1 expose les outils d’analyse, tirés de la théorie anthropologique du didactique proposée par Yves Chevallard, et en particulier la notion d’organisation mathématique (types de problèmes, techniques, technologie, théorie).
La partie Il est d’abord consacrée à l’histoire du calcul vectoriel et à l’émergence des espaces vectoriels (les premières traductions en français d’ouvrages de calcul vectoriel font l’objet d’une attention particulière), puis à l’émergence des espaces affines. Enfin, revenant à la géométrie élémentaire, la succession au cours du siècle des principales constructions théoriques de la géométrie est retracée, en précisant la place et le rôle occupés par les vecteurs dans chacune d’elles. Cette étude montre l’abondance des travaux portant sur l’articulation entre les fondements de la géométrie d’une part et l’élaboration théorique d’un calcul vectoriel d’autre part ; certains de ces travaux ont largement influencé l’évolution des programmes d’enseignement.
La partie III s’intéresse précisément à la place des vecteurs dans les programmes d’enseignement en France au cours de ce siècle. Le titre A fournit une base documentaire complète à ce sujet ; le titre B est principalement consacré à l’analyse didactique du traitement vectoriel, dans le cadre des programmes successifs, de deux types de problèmes : les problèmes d’alignement et de concours, et l’étude d’une configuration à l’aide d’une transformation vectorielle. L’enquête est conduite sur les territoires suivants textes des programmes, manuels scolaires, revues ou brochures professionnelles.
La dernière partie dresse dans son titre A un inventaire et une comparaison des organisations mathématiques intégrant les deux types de problèmes précédents, qui ont été publiées dans des traités ou manuels, en France et dans quelques pays anglo-saxons (Etats-Unis, Allemagne, Angleterre). Cette partie fait apparaître deux univers dans la pratique du calcul vectoriello-ponctuel : un univers anglo-saxon, où l’on utilise effectivement le pointage du plan ou de l’espace, ainsi que les vecteurs-positions ; un univers français de l’enseignement secondaire, où les vecteurs-positions sont indésirables, la notation AB et la relation de Chasles étant au cœur des techniques. Le titre B propose des organisations mathématiques pour le début du lycée, nouvelles en France, intégrant ces types de problèmes et introduisant les vecteurs-positions.