L’article qui suit est un exercice de style un peu paradoxal puisqu’il va en fait du compliqué au simple. L’enseignement scolaire et universitaire insiste depuis des décennies, et avec de très bonnes raisons, sur ce qui est linéaire. On s’aperçoit que l’algèbre linéaire constitue de fait le coeur des programmes d’algèbre du CAPES ou de l’Agrégation.
Mais ceci a une conséquence curieuse. Des structures beaucoup plus naturelles sont mal explorées. C’est le cas des entiers, dont l’étude est reléguée à des rappels marginaux sur les PGCD – PPCM. Sans même parler de corps de nombres, l’arithmétique élémentaire n’est que rarement abordée.
L’auteur montre que pourtant bien des constructions devenues familières, grâce a l’habitude, sur les espaces vectoriels, se transfèrent sans grande peine en notions intéressantes sur Z et ses quotients. Le fil directeur va être l’explication en parallèle des propriétés principales de Z et de k[X]. Ces deux anneaux sont les anneaux d’entiers de leur corps des fractions respectifs : Q et k(X). L’analogie des propriétés arithmétiques des extensions finies de Q – les extensions de nombres – et les propriétés géométriques des extensions de k(x) – les corps de fonctions des courbes algébriques – est un principe systématiquement utilisé dès le 19e siècle.

Les lignes qui précèdent sont extraites de l’introduction de l’article. Partant de généralités sur les anneaux, idéaux et division euclidienne, résultant et signature, l’article traite du résultant de Sylvester et du symbole de Legendre-Jacobi, dans le cas des polynômes et dans le cas des entiers. Des indications de démonstrations sont données, qui permettent de retrouver plusieurs formules donnant le symbole de Jacobi.