En 1888 Bertrand publia un livre Calcul des probabilités. Ce livre a visiblement servi de référence à une génération. Ce qui est toujours assez surprenant pour un lecteur d’aujourd’hui qui lit ces vieux livres n’est pas seulement la clarté de l’expression et la présence d’idées que l’auteur dégage de l’information scientifique, mais aussi (très souvent) la discussion critique de cette information scientifique, à laquelle l’auteur convie son lecteur. Le Calcul des probabilités de Joseph Bertrand est très représentatif de cet esprit. Ainsi on trouvera critiqués entre autres les fondements des probabilités dites continues ou géométriques. A la base de sa critique, il y a chez Bertrand l’idée que les probabilités ne sont pas correctement définies dans le continu.
La formule classique probabilité=(nombre de résultats favorables)/(nombre de résultats possibles) est claire si les nombres qui y figurent sont finis ; elle est encore claire comme limite d’une suite convergente lorsque les nombres en question tendent vers l’infini. Mais elle ne l’est plus si dès le départ les nombres sont infinis. Il ne rejette pas en bloc la prise en compte de probabilités géométriques, il met seulement en garde contre les inconsistances qu’on peut y rencontrer. Parmi les exemples qu’il donne de telles inconsistances, il y a le problème des cordes sur un cercle : on tire au hasard une corde sur un cercle; quelle est la probabilité pour qu’elle soit plus longue que le côté du triangle équilatéral inscrit ? (ou, ce qui est équivalent: que la distance de la corde au centre du cercle soit inférieure à R/2 ?) Dans cet article, l’auteur commente ce les propos de Joseph Bertrand, Henri Poincaré et Emile Borel ce problème de théorie des probabilités.