L’activité mathématique de Hamilton, après la découverte des quaternions en 1843, se divise en deux parties : d’une part, la recherche des applications de ce nouvel outil algébrique (géométrie, mécanique, optique, théorie métrique des surfaces), et d’autre part, la justification de l’outil lui-même.
Dans le livre « Lectures on Quaternions » (1853) Hamilton expose une « Analyse » de ce que devrait être le quotient de deux vecteurs pour qu’une multiplication puisse être définie. Après cette Analyse, la Synthèse, qui est le résultat de l’opération du multiplicateur sur le multiplicande, repose sur une rotation.
On étudie dans ce texte la genèse de la notion de vecteur et les difficultés relatives au fondement l’algèbre linéaire.