Si aujourd’hui le concept de grandeur ne fait plus partie des mathématiques, à cause de son origine physique, historiquement pourtant, une grande partie des mathématiques s’est édifiée sur la relation qu’ont entretenue les grandeurs et les nombres. On pense bien sûr à l’élaboration de l’analyse moderne à partir de la mesure des grandeurs, mais cette expression de mesure évoque une relation entre grandeurs et nombres déjà constituée, et déjà opératoire. L’article développe au contraire avant tout l’histoire du couple « grandeurs et nombres », dans ce qu’elle a pu avoir de problématique à différents moments du passé ; comment chacun des termes du couple s’est modifié, enrichi au fil de cette histoire, non pas individuellement et séparément, mais dans sa confrontation avec l’autre ; comment le concept de nombre s’est élargi grâce à la volonté et la nécessité de penser en termes de nombres une réalité physique appréhendée d’abord en termes de grandeurs ; et comment la compréhension de la réalité des grandeurs s’est approfondie dans l’étude de ce qui fait leur caractère le plus spécifique : le continu, et son aboutissement dans la construction de ce que nous appelons les réels.
Par l’utilisation du terme de confrontation, nous voulons souligner le fait que la relation « grandeurs, nombres » n’est ni automatique ou spontanée, ni régulière, mais qu’elle s’est développée dans une certaine tension pouvant impliquer, comme dans l’histoire ordinaire d’un couple humain, des moments de crise ou de séparation ; et il y aura dans cette histoire aussi, des enfants illégitimes et finalement un véritable divorce.

Quatre paragraphes :
1. La découverte des grandeurs incommensurables ou la déraisonnable inaptitude du nombre à mesurer certaines grandeurs.

2. L’invention d’une physique mathématique, ou comment intégrer le changement, le mouvement dans les mathématiques.

3. Quatre manières différentes pour démontrer une même égalité de deux grandeurs :
a) euclidienne,
b) indivisibles,
c) irruption de la variabilité,
d) calcul différentiel

4. A quelles modifications de pensée correspondent ces modifications de traitement ?