De ces deux problèmes, un troisième a surgi, celui de construire les courbes introduites par les géomètres. Une construction de points de la courbe à la règle et au compas n’est pas satisfaisante, car il faut joindre à peu près ces points. Aussi, des constructions continues des courbes ont vite été recherchées, en particulier par René Descartes et Isaac Newton au XVIIe siècle. Ce sont au début des mécanismes divers, aux contours peu définis, avant que ne soit élaborée au XIXe siècle la théorie des systèmes articulés. La trisection a donné aussi lieu à des constructions qui l’approchent, depuis la Renaissance et jusqu’au début du XXe siècle. Ce problème n’a rien perdu de son charme aujourd’hui auprès d’amateurs de mathématiques.

Voici le plan :
– La place originale de l’heptagone dans la géométrie et la culture.
– L’inscription de l’heptagone régulier dans le cercle selon le Prévost Comiers (1677) (Le compas de Comiers. La duplication du cube avec le compas de Comiers. La trisection de l’angle par Comiers. L’inscription de l’heptagone régulier. Construction par intersections de droites et de cercles ou construction à la règle et au compas ?)
– L’heptagone comme source de réflexion et d’invention (Archimède et son «Livre de la construction du cercle divisé en sept parties égales ». Avec l’héritage des coniques d’Apollonius les géomètres arabes relèvent le défi. Les constructions de l’heptagone par Ibn-Al-Haytham (XIe siècle).)
– L’algèbre une issue de secours ? (Kepler et l’harmonie du Monde (1619). La nouvelle algèbre de Viète (1600). Descartes instaure une nouvelle conception des constructions géométriques (1637).)
– Deux constructions par neusis
– Une construction au moyen d’un compas elliptique
– Quelques constructions approchées