« Historiquement, quand les nombres complexes se sont présentés comme une nécessité du calcul algébrique, ils ont été qualifiés « d’imaginaires », parce qu’ils échappaient à toute « image » possible alors. Plusieurs siècles, chargés de perplexité, se sont écoulés avant que « l’imagination » des mathématiciens n’ouvre, pour ces nombres, un champ de représentation adapté. Pour nos élèves, il s’agit aussi de découvrir et de s’approprier, comme nombres à part entière, des objets mathématiques nouveaux, dont la visualisation nécessite une extension de leur registre de pensée habituel.
L’approche géométrique, la construction qui légitime, …, sont donc à la fois une étape de l’histoire de la pensée que nous relatons, et une démarche pédagogique que nous proposons.
Pour introduire ce chapitre, les auteurs apportent des précisions sur le contexte historique dans lequel se situe le mémoire décisif d’Argand.

L’organisation générale du texte est donc directement dérivée par le travail d’Argand :
– Une étude de la moyenne proportionnelle, c’est-à-dire l’objet, géométrique ou numérique, et sa construction, à travers la lecture de trois textes : la proposition 13 du livre VI des Eléments d’Euclide, un extrait du Premier Livre de la « Géométrie » de Descartes et un extrait du Chapitre VI des « Eléments de Géométrie » de Lamy.
– Des considérations sur les quantités négatives, à partir d’articles « Quantités » et « Négatifs » de l’Encyclopédie (18e siècle), d’une réflexion centrée sur la Géométrie de position de Carnot (1753-1823) où l’on voit comment la géométrie traditionnelle a entravé l’algèbre, jusqu’à ce qu’une nouvelle géométrie suscitée par la puissance de l’algèbre même, ne donne à ce dernier son plein essor
– Une approche géométrique des nombres complexes (proprement dite, grâce à de larges extraits du traité d’Argand, essai sur la manière de représenter les quantités imaginaires dans les constructions géométriques (1806)