Le point de vue de l’article est celui de « l’histoire épistémologique », lue en termes non pas de tradition et de développement, mais de ruptures et de différences. Les « actes de pensée » géométriques ne sont pas les mêmes à différentes époques, or l’élève doit passer sans vraiment de transition de figures dessinées à une démonstration logique sur des figures représentant des objets idéaux.
En les comparant aux méthodes pratiquées dans l’enseignement, l’auteur analyse des démonstrations du théorème de Pythagore chez Euclide et chez Liu Hui, montre comment la méthode de Descartes bouleverse la manière dont le géomètre regarde les figures, montre les apports de Bernard Lamy et d’Antoine Arnauld, puis les méthodes de Monge, Poncelet et Hadamard.
En conclusion le point de vue est de privilégier « l’acte de pensée » , ce qui va à l’encontre d’une distinction entre un savoir et des savoir-faire, et disqualifie la entre un savoir savant et un savoir enseigné. Celui qui résout un problème mathématique sait et sait faire, l’acte de pensée est le même qu’il soit savant ou débutant.