Dans les années 1980-2000 il y eut, en France, une discussion assez vive sur les mérites de l’Analyse non standard (ANS). Pour les uns il s’agissait d’une révolution scientifique qui devait s’imposer dans tous les domaines des mathématiques et dès l’enseignement élémentaire et pour les autres, l’immense majorité, il s’agissait d’une sous-culture à laquelle il fallait résolument tourner le dos. La revue Repères-IREM a publié plusieurs articles de partisans de la méthode. Cet article relate ce qu’il en est un quart de siècle plus tard.
L’ANS, c’est-à-dire la pratique des infinitésimaux, est maintenant reconnue comme légitime. Il existe même de très grands mathématiciens comme T. Tao ou M. Gromov qui en préconisent l’usage pour certaines activités de recherche particulièrement pointues. Loin d’être une vieillerie intéressant au mieux les historiens des sciences, en ce moment des mathématiciens l’utilisent et en préconisent l’usage. Cependant l’ANS reste une pratique minoritaire et, il ne semble pas qu’elle soit enseignée actuellement de façon significative à quelque niveau que ce soit. L’auteur se propose, dans cet article, de mettre en évidence quelques blocages psychologiques à l’origine des réticences à l’usage naturel des quantités infinitésimales.
Pour cela l’auteur commence par développer rapidement l’idée, largement partagée, que l’activité mathématique se construit d’abord avec des images mentales personnelles plus ou moins transmissibles avant de se traduire par des démonstrations en bonne et due forme. Ensuite il présente les deux principales versions de l’ANS : celle des extensions, associée au nom de Abraham Robinson (1918-1974), puis l’axiomatique, associée à celui de Édouard Nelson (1932-2014). Il montre en quoi ces versions posent problème en matière d’image mentale.
En espérant avoir ainsi levé les obstacles conceptuels, il propose (section 4) quelques exercices, puis aborde ce qu’il appelle le « grand malentendu « . Le grand malentendu est de croire que l’ANS est une technique particulière pour (re)démontrer des résultats mathématiques « conventionnels » (ou traditionnels), c’est-à-dire n’utilisant pas directement les notions floues de « grand », « petit »ou « du même ordre de grandeur » si présentes dans le discours des physiciens et que la mathématique traditionnelle ne sait traduire que de façon très indirecte. L’auteur donne enfin quelques exemples avant de conclure.

Structure de l’article :
Introduction
1. – La place de l’image mentale en mathématiques
2. – Les nombres réels, hyper-réels et le continu
2.1. Une construction traditionnelle de R
2.2. L’ensemble R et les ordres de grandeurs
2.3. Les hyper-réels
2.4. Quelle image mentale pour *R ?
3. – Un autre regard sur les mathématiques traditionnelles
3.1. Les mathématiques et la formalisation
3.2. La théorie formelle ZFC et son langage L
3.3. Une extension de ZFC : le système IST
3.4. Premières conséquences des axiomes IST
3.4.1. Le transfert
3.4.2. L’idéalisation
3.4.3. La standardisation
3.5. Une image mentale pour terminer
4. – Un peu de pratique ANS
4.1. Vocabulaire
4.2. Les séries
4.3. La S-continuité
4.4. Dérivée et intégrale
4.5. Le théorème d’existence des solutions d’une équation différentielle
5. – Le grand malentendu
5.1. La S-continuité n’est pas la continuité
5.2. Les systèmes différentiels non standard
5.3. Les marches de pas infiniment petit
5.3.1. Le continu-discret
5.3.2. Marches de R^n de pas infiniment petit
5.4. Vers un point de vue plus radical ?
6. – Pour finir, quelques éléments historico-bibliographiques
Bibliographie