Pour apprendre à démontrer en mathématiques et pour devenir sensible à la force de preuve d’une démonstration, il faut découvrir ce qui fait la différence entre un raisonnement valide et un raisonnement non valide (par exemple, une argumentation) ainsi que la manière dont un raisonnement valide peut fonctionner. C’est en géométrie que les premières activités sont généralement proposées aux élèves. Là, les raisonnements valides sont des raisonnements déductifs effectués dans le registre de la langue naturelle, parallèlement à une activité de recherche sur des figures.
Le but de cet article est donc double.
D’une part analyser les conditions spécifiques à l’organisation déductive du discours en géométrie. Cette organisation se fait à deux niveaux et elle ne dépend en rien de connecteurs. Elle suppose, au contraire, que l’élève distingue bien les différentes composantes du sens des propositions : leur statut et leur contenu, leur valeur épistémique et leur valeur de vérité. L’organisation déductive est souvent difficile à discerner à travers les explications en langage naturel, car la rédaction d’une démonstration peut donner lieu à des textes différents, aussi bien dans les manuels que chez les enseignants.
D’autre part montrer les conditions d’un apprentissage par les élèves. La condition est une séparation entre le travail de recherche sur les figures et le travail dit de « rédaction » de la démonstration. La deuxième condition est la nécessité d’un dédoublement du travail de rédaction entre une activité qui porte exclusivement sur l’organisation des propositions dans un registre de graphe, et une activité de description « langagière » du graphe construit. Cette phase d’apprentissage requiert l’articulation de deux registres de représentation. Un exemple de l’organisation d’une séquence d’apprentissage ayant été réalisé dans des classes de quatrième est proposé.