Cet ouvrage complète le tome 1 Il propose des situations-problèmes dans le domaine géométrique.
Odette Bassis est Présidente du GFEN (Groupe Français d’Éducation Nouvelle). L’une des quatre parties de l’ouvrage est due à Christian Foiret, enseignant de CM2, membre du GFEN du Loiret.
Il s’agit donc de traduire ici les thèses du GFEN qui font « le pari d’une éducation nouvelle comme utopie concrète pour notre temps » et voudraient « qu’apprendre puisse être une fête ».
L’introduction précise que l’ouvrage « s’adresse aux enseignants des Cycles 2 et 3 [de l’école élémentaire] aussi bien qu’à ceux du collège parce qu’il repose sur le choix délibéré, comme dans le tome 1, d’aller quérir des problématiques conceptuelles clés qui constituent l’ossature des programmes, tout au long de la scolarité obligatoire ».
L’auteur y prône des progressions allant du général au particulier, par exemple du parallélogramme au carré. Le va-et-vient entre situations-problèmes et notions concernées lui permet de ne pas réserver les unes ou les autres soit à l’école élémentaire, soit au collège.
Le tout dans une optique « en accord avec Vygotski […] : l’apprentissage scolaire peut non seulement suivre le développement, non seulement marcher au même pas que lui, mais il peut le devancer, le faisant progresser et suscitant en lui de nouvelles formations ».

Première partie : approche des notions clés (34 pages).
– tableaux à double entrée (cycle 2).
– approches géométriques des théorèmes de Pythagore et de Thalès (collège).
– introduction aux nombres irrationnels (collège).

Deuxième partie : des polygones aux carrés (74 pages) (étagements, du cycle 3 au collège).
– des lignes aux polygones : polygones convexes, concaves.
– des polygones aux triangles et aux quadrilatères.
– côtés et parallélisme ; angles [où l’auteur reste un peu « programmes de 1972 » tout en protestant : « l’excès de rigueur peut empêcher la conquête de toute rigueur. Là aussi, il faut choisir quel concept prioritaire est à construire », et en citant Bachelard : « la clarté est parfois une séduction qui fait des victimes dans le rang des professeurs »].
– des quadrilatères aux carrés, où l’auteur rappelle son parti pris : « les mots connus de « rectangle, carré, losange, etc. » sont refusés au profit d’une qualification des quadrilatères à partir des propriétés qui vont se dégager » (théorie de « la table rase », for contestée, y compris par l’APMEP en réaction aux excès des maths modernes). L’auteur, à l’occasion, précise l’idée de négation, le sens du « au moins ».
– chemin faisant, surgissent des sous-chapitres tels que « discrimination et coordination entre propriétés et ensembles » (à grand renfort de diagrammes-patates), « constitution d’ensembles et construction de schèmes logiques… « , « structuration du tout et des parties ».
– suivent des « réinvestissements » sur des constructions, des allusions à l’apparition de formules d’aires, aux transformations (ombres, …). En conclusion du chapitre, l’auteur évalue « les programmes officiels » :
– une page « au positif » : importance de la résolution des problèmes, débat, …
– une page « au négatif » où, on l’aura deviné, fidèle à des nostalgies de 1970-1975 qui affleurent un peu partout en dépit d’apports constructivistes différents, l’auteur regrette « une sorte de dichotomie entre le fonctionnel et le formel « gênante pour une saine » approche conceptuelle ». Surgit, en conclusion, un argument pervers et fréquent pour disqualifier ceux qui ne pensent pas comme soi-même : « pourquoi donc s’obstine-t-on à sous-évaluer les potentialités aussi bien des enfants à construire leurs connaissances que des enseignants à être capables d’en créer les conditions ? ».

Troisième partie : les transformations géométriques du plan (28 pages).
Il y est essentiellement question d’intéressantes activités, de coloriage, dessin, formulation, du cycle 3 au début du collège.

Quatrième partie : mesurer : cycle 3, collège (72 pages).
– des mises en place très progressives, avec données historiques, sur longueur, surface, plus rapidement sur capacités, volumes et le temps-durées, à nouveau très patiemment, sur équilibre et masse.
– cette partie se termine par neuf pages, fort intéressantes sur « processus de recherche des élèves et animation de l’enseignant », où l’on précise « qu’apprendre, c’est toujours entrer dans une zone de turbulence », où l’on valorise le remplacement du jugement abrupt du maître par « essaye, tu verras si ça marche « , … en terminant par un vœu « très APMEP » : « … construire, dès l’ici et le maintenant de l’acte d’apprendre, des conditions humaines propres à l’exercice d’une démocratie ouverte et conquérante ».

L’ouvrage recherche avec beaucoup de théorisations une cohérence entre des activités, des débats à partir de situations-problèmes bien posées, d’émergences de questionnements, et la richesse conceptuelle sou jacente. Il le fait à partir de nombreuses interventions d’élèves, réels ou virtuels, et d’analyses fouillées.