point remarquable dans un tétraèdre

GEOMETRIE

Certaines propriétés du tétraèdre rappellent celles des triangles, et se démontrent de façon analogue, mais cela n’est pas vrai pour toutes les propriétés.
* les six plans médiateurs des arêtes concourent en un point O qui est le centre de la sphère circonscrite.
* les six plans bissecteurs intérieurs des dièdres concourent en un point qui est le centre d’une sphère inscrite.
* les médianes du tétraèdre (segments joignant un des sommets au point de concours des médianes de la facette opposée) concourent en un même point situé au quart de chacune d’elles à partir de la base. C’est le centre de gravité.
* les bimédianes du tétraèdre (droites passant par les milieux de deux arêtes opposées) sont concourantes au centre de gravité
* MAIS les quatre hauteurs ne sont en général pas concourantes, il n’y a pas d’orthocentre. Lorsqu’il y en a un le tétraèdre est orthocentrique.
* pour un tétraèdre régulier le centre de gravité est aussi l’orthocentre du tétraèdre et est équidistant des sommets. C’est le centre de la sphère dans laquelle est inscrit le tétraèdre.

Point de Monge d’un tétraèdre : il n’existe en général pas d’orthocentre, mais les six plans définis par les couples (milieu d’un côté, plan perpendiculaire au côté opposé) concourent en un point appelé point de Monge du tétraèdre. Ce point est le symétrique du centre de la sphère circonscrite à ce tétraèdre par rapport à son centre de gravité. Dans un tétraèdre orthocentrique, il est confondu avec l’orthocentre du tétraèdre.