Dans cet article, écrit en anglais, l’auteur présente un certain nombre de résultats mettant en évidence la complexité de la notion d’implication. La question centrale est celle de savoir de quelles notions d’implication nous avons besoin pour faire des mathématiques. Elle est introduite par deux exemples. Le premier est un exemple mathématique et concerne les entiers naturels inférieurs à vingt qui vérifient l’énoncé conditionnel ouvert « si un nombre est pair, alors son successeur est premier ». Une réponse majoritaire chez les étudiants de première année universitaire consiste à ne donner que les nombres pairs dont le successeur est un nombre premier. Le second exemple est la tâche du labyrinthe (cette tâche est présentée en détail et analysée dans l’article de Petit x n° 50 L’élève, le professeur et le labyrinthe ). Suivant en cela Quine, l’auteur introduit cinq notions d’implication: le conditionnel courant, le connecteur propositionnel appelé communément implication matérielle, le conditionnel universellement valide du calcul des propositions qui soutient les principales règles d’inférences, le conditionnel généralisé, appelé communément implication formelle, et la notion, rarement considérée, de conditionnel ouvert. L’auteur montre que cette dernière notion est indispensable pour analyser les deux exemples introductifs et d’une manière plus générale, pour articuler l’implication matérielle avec l’implication formelle. Une synthèse des résultats d’un questionnaire proposé à des étudiants de premier cycle universitaire est ensuite présentée. Il ressort de cette présentation que l’implication ouverte est une notion centrale pour l’activité mathématique, et que par conséquent, le conditionnel courant (appelé par certains auteurs « hypothetical implication »), pour lequel on ne considère que les cas où l’antécédent est vrai, n’est pas adapté pour les mathématiques scolaires.